Matemática discreta Ejemplos

$6 x - 3 y = 3$ , $7 x - y = 3$

Paso 1

Resuelve $x$ en $6 x - 3 y = 3$ .

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Paso 1.1

Suma $3 y$ a ambos lados de la ecuación.

$6 x = 3 + 3 y$

$7 x - y = 3$

Paso 1.2

Divide cada término en $6 x = 3 + 3 y$ por $6$ y simplifica.

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Paso 1.2.1

Divide cada término en $6 x = 3 + 3 y$ por $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{3}{6} + \frac{3 y}{6}$

$7 x - y = 3$

Paso 1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.2.1

Cancela el factor común de $6$ .

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Paso 1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{6 x}{6} = \frac{3}{6} + \frac{3 y}{6}$

$7 x - y = 3$

Paso 1.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{3}{6} + \frac{3 y}{6}$

$7 x - y = 3$

$x = \frac{3}{6} + \frac{3 y}{6}$

$7 x - y = 3$

$x = \frac{3}{6} + \frac{3 y}{6}$

$7 x - y = 3$

Paso 1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.3.1.1

Cancela el factor común de $3$ y $6$ .

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Paso 1.2.3.1.1.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$x = \frac{3 (1)}{6} + \frac{3 y}{6}$

$7 x - y = 3$

Paso 1.2.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.3.1.1.2.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$x = \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2} + \frac{3 y}{6}$

$7 x - y = 3$

Paso 1.2.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$x = \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2} + \frac{3 y}{6}$

$7 x - y = 3$

Paso 1.2.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{1}{2} + \frac{3 y}{6}$

$7 x - y = 3$

$x = \frac{1}{2} + \frac{3 y}{6}$

$7 x - y = 3$

$x = \frac{1}{2} + \frac{3 y}{6}$

$7 x - y = 3$

Paso 1.2.3.1.2

Cancela el factor común de $3$ y $6$ .

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Paso 1.2.3.1.2.1

Factoriza $3$ de $3 y$ .

$x = \frac{1}{2} + \frac{3 (y)}{6}$

$7 x - y = 3$

Paso 1.2.3.1.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.3.1.2.2.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$x = \frac{1}{2} + \frac{3 y}{3 \cdot 2}$

$7 x - y = 3$

Paso 1.2.3.1.2.2.2

Cancela el factor común.

$x = \frac{1}{2} + \frac{3 y}{3 \cdot 2}$

$7 x - y = 3$

Paso 1.2.3.1.2.2.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$

$7 x - y = 3$

$x = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$

$7 x - y = 3$

$x = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$

$7 x - y = 3$

$x = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$

$7 x - y = 3$

$x = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$

$7 x - y = 3$

$x = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$

$7 x - y = 3$

$x = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$

$7 x - y = 3$

Paso 2

Reemplaza todos los casos de $x$ por $\frac{1}{2} + \frac{y}{2}$ en cada ecuación.

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Paso 2.1

Reemplaza todos los casos de $x$ en $7 x - y = 3$ por $\frac{1}{2} + \frac{y}{2}$ .

$7 (\frac{1}{2} + \frac{y}{2}) - y = 3$

$x = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica $7 (\frac{1}{2} + \frac{y}{2}) - y$ .

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Paso 2.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$7 (\frac{1}{2}) + 7 (\frac{y}{2}) - y = 3$

$x = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$

Paso 2.2.1.1.2

Combina $7$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{7}{2} + 7 (\frac{y}{2}) - y = 3$

$x = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$

Paso 2.2.1.1.3

Combina $7$ y $\frac{y}{2}$ .

$\frac{7}{2} + \frac{7 y}{2} - y = 3$

$x = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$

$\frac{7}{2} + \frac{7 y}{2} - y = 3$

$x = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$

Paso 2.2.1.2

Para escribir $- y$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{7}{2} + \frac{7 y}{2} - y \cdot \frac{2}{2} = 3$

$x = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$

Paso 2.2.1.3

Combina $- y$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{7}{2} + \frac{7 y}{2} + \frac{- y \cdot 2}{2} = 3$

$x = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$

Paso 2.2.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{7}{2} + \frac{7 y - y \cdot 2}{2} = 3$

$x = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$

Paso 2.2.1.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{7 + 7 y - y \cdot 2}{2} = 3$

$x = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$

Paso 2.2.1.6

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{7 + 7 y - 2 y}{2} = 3$

$x = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$

Paso 2.2.1.7

Resta $2 y$ de $7 y$ .

$\frac{7 + 5 y}{2} = 3$

$x = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$

$\frac{7 + 5 y}{2} = 3$

$x = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$

$\frac{7 + 5 y}{2} = 3$

$x = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$

$\frac{7 + 5 y}{2} = 3$

$x = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$

Paso 3

Resuelve $y$ en $\frac{7 + 5 y}{2} = 3$ .

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Paso 3.1

Multiplica ambos lados por $2$ .

$\frac{7 + 5 y}{2} \cdot 2 = 3 \cdot 2$

$x = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$

Paso 3.2

Simplifica.

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Paso 3.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1.1

Simplifica $\frac{7 + 5 y}{2} \cdot 2$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.1.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{7 + 5 y}{2} \cdot 2 = 3 \cdot 2$

$x = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$

Paso 3.2.1.1.1.2

Reescribe la expresión.

$7 + 5 y = 3 \cdot 2$

$x = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$

$7 + 5 y = 3 \cdot 2$

$x = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$

Paso 3.2.1.1.2

Reordena $7$ y $5 y$ .

$5 y + 7 = 3 \cdot 2$

$x = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$

$5 y + 7 = 3 \cdot 2$

$x = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$

$5 y + 7 = 3 \cdot 2$

$x = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Multiplica $3$ por $2$ .

$5 y + 7 = 6$

$x = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$

$5 y + 7 = 6$

$x = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$

$5 y + 7 = 6$

$x = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$

Paso 3.3

Resuelve $y$

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Paso 3.3.1

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.3.1.1

Resta $7$ de ambos lados de la ecuación.

$5 y = 6 - 7$

$x = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$

Paso 3.3.1.2

Resta $7$ de $6$ .

$5 y = - 1$

$x = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$

$5 y = - 1$

$x = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$

Paso 3.3.2

Divide cada término en $5 y = - 1$ por $5$ y simplifica.

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Paso 3.3.2.1

Divide cada término en $5 y = - 1$ por $5$ .

$\frac{5 y}{5} = \frac{- 1}{5}$

$x = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$

Paso 3.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.2.1

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 3.3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{5 y}{5} = \frac{- 1}{5}$

$x = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$

Paso 3.3.2.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{- 1}{5}$

$x = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$

$y = \frac{- 1}{5}$

$x = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$

$y = \frac{- 1}{5}$

$x = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$

Paso 3.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{1}{5}$

$x = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$

$y = - \frac{1}{5}$

$x = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$

$y = - \frac{1}{5}$

$x = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$

$y = - \frac{1}{5}$

$x = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$

$y = - \frac{1}{5}$

$x = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$

Paso 4

Reemplaza todos los casos de $y$ por $- \frac{1}{5}$ en cada ecuación.

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Paso 4.1

Reemplaza todos los casos de $y$ en $x = \frac{1}{2} + \frac{y}{2}$ por $- \frac{1}{5}$ .

$x = \frac{1}{2} + \frac{- \frac{1}{5}}{2}$

$y = - \frac{1}{5}$

Paso 4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.1

Simplifica $\frac{1}{2} + \frac{- \frac{1}{5}}{2}$ .

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Paso 4.2.1.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{1 - \frac{1}{5}}{2}$

$y = - \frac{1}{5}$

Paso 4.2.1.2

Simplifica la expresión.

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Paso 4.2.1.2.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$x = \frac{\frac{5}{5} - \frac{1}{5}}{2}$

$y = - \frac{1}{5}$

Paso 4.2.1.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{\frac{5 - 1}{5}}{2}$

$y = - \frac{1}{5}$

Paso 4.2.1.2.3

Resta $1$ de $5$ .

$x = \frac{\frac{4}{5}}{2}$

$y = - \frac{1}{5}$

$x = \frac{\frac{4}{5}}{2}$

$y = - \frac{1}{5}$

Paso 4.2.1.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x = \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{2}$

$y = - \frac{1}{5}$

Paso 4.2.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.1.4.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$x = \frac{2 (2)}{5} \cdot \frac{1}{2}$

$y = - \frac{1}{5}$

Paso 4.2.1.4.2

Cancela el factor común.

$x = \frac{2 \cdot 2}{5} \cdot \frac{1}{2}$

$y = - \frac{1}{5}$

Paso 4.2.1.4.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{2}{5}$

$y = - \frac{1}{5}$

$x = \frac{2}{5}$

$y = - \frac{1}{5}$

$x = \frac{2}{5}$

$y = - \frac{1}{5}$

$x = \frac{2}{5}$

$y = - \frac{1}{5}$

$x = \frac{2}{5}$

$y = - \frac{1}{5}$

Paso 5

La solución del sistema es el conjunto completo de pares ordenados que son soluciones válidas.

$(\frac{2}{5}, - \frac{1}{5})$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de punto:

$(\frac{2}{5}, - \frac{1}{5})$

Forma de la ecuación:

$x = \frac{2}{5}, y = - \frac{1}{5}$

Paso 7